慣れない環境で猫は少し緊張している場合は多いです。
まずは、ケージに入れて、静かに見守りましょう。
ケージは少し薄暗く人が頻繁に出入りしない静かな場所で、死角にならず見守れる場所を選びましょう。
猫の状態はごはんを食べたか、トイレをしたか、が一番わかりやすいです。
初日は緊張してごはんを食べなかったりトイレをしなかったりしますが、何度もケージをのぞいたりせず距離を置いて静かに見守るようにします。

子猫の場合、逆にさみしくなる場合もあります。
もしケージで人を呼んでいるようであれば、少し遊んであげたり、なでてあげて安心させましょう。
最初から部屋中を探索すると疲れてしまうので、ほどほどに。

保護主さんやブリーダーさんは心配していると思いますので、初日はどんな様子だったかを簡単に連絡しておくといいと思います。
緊張だけでなく、体調を崩していることもあるので、これまでの普段と違うかどうかは保護主さんやブリーダーさんのほうがよくわかるので、アドバイスをもらえると思います。

猫を引き取った初日以降の夜鳴きはとにかく過ぎるのを待つ。

慣れない場所で不安になり、夜暗くなってから鳴き続ける猫もいます。
(私の引き取った猫もそうでした。）
これは猫が環境に慣れて安心できるまでは難しいので、「いつかおさまるから」ととにかくぐっと我慢して反応せず見守りましょう。
近所に聞こえているのではないかとハラハラしますが、猫可の物件に暮らしていれば近隣の人もある程度は理解があると思います。(逆に言うと、猫不可物件で隠れて飼うのは難しいですよ。）

猫を引き取った初日以降の過ごし方

初日1日を過ごしてから、猫の性格により慣れてくる速さは違うので、とにかく、猫のペースに合わせるようにし、もしまだ緊張している様子だったら、無理に触ったり抱いたり、ケージから出したりしないようにしましょう。
急いでも結局うまくいきません。
人との触れ合いがなかなかできなくても、ごはんやトイレがきちんとできていればひとまずは安心です。
とにかく、ゆっくりゆっくりと。。。

ただ、見守るだけではなく、あまりにもご飯を食べない、ぐったりしている、などの異常がある場合は病院へ連れていきましょう。
判断に困るときは、保護主さんやブリーダーさんに相談してもよいと思います。

猫が少し慣れたな、と思ったら、ケージの扉を開けていつでも出入りできるようにしておきましょう。
ただ、部屋に慣れるまではケージは安心できる場所、として残しておきます。
また、部屋の中は、猫が安全に過ごせる対策をすべてしてあることが大前提です。